Directivas generales (nuevas)

Nuevo: No espero más aclaraciones, verificaciones y revisiones, así que lo que
sigue es enfocarse, a quienes así convenga, a su 2o. extraordinario, el cual
tomará en consideración el material ya visto junto con algún par de ejercicios
del teorema de Stokes o el de Green. Menciono que tomar dxdy o dydx de una
integral iterada dependera de la simetría del dominio, así que es necesario
tomar en consideración si los barridos son de arriba hacia abajo (forma dydx)
o de derecha a izquierda (forma dxdy).

Para el ejemplo del examen, tendríamos
    2     sqrt(x)
int   int            f(x,y) dy dx
    0      0

y la otra versión (que nadie hizo) es:
    sqrt(2)      2
int            int         f(x,y) dx dy
      0             y*y

Verificando en máxima, tenemos:
(%i6) integrate(integrate(y/(1+x**2),y,0,sqrt(x)),x,0,2);
                                    log(5)
(%o6)                               ------
                                      4


(%i9) integrate(integrate(y/(1+x**2),x,y*y,2),y,0,sqrt(2));
     2
Is y  - 2 positive, negative or zero?

positive;
                                    log(5)
(%o9)                               ------
                                      4

Nuevo (12 de julio de 2016): Ya pueden verificar su calificación en el sistema.
Las aclaraciones sólo serán el día de hoy, de preferencia de 4 a 7.


Nuevo: Tomar en consideración que este examen será colegiado
(departamental), así que se intentará mantener un conjunto básico
de problemas por mi parte, pero otros más pueden venir de otros profesores.
Para este caso, repasar de algunos libros clásicos de cálculo diferencial
e integral.

Nuevo: El examen será el lunes 11 de julio en los salones A9 y A10 de 9 a 11
de la mañana.


El examen está dividido en tres partes:

a) Sería la parte de integración simple:

1. Integración por partes
2. Integración por sustitución
3. Fracciones parciales (por ejemplo: int 1/(x**2+x) dx).
4. Con integración indefinida.
5. Manejo de integrales (1/(1+x**2))... sinh x, cosh x, e**x (por cierto, es posible que no se permita el uso de formularios en el examen; recordar algunas fórmulas básicas es, así, indispensable para trabajar sin formularios: escribir unas cuantas veces en un papel las fórmulas trigonométricas varias veces es útil, así como "jugar" con las fórmulas de integración: por ejemplo, la integral de 1/(1+x**2) es... y así en una ronda de memorización).

Advertencias en esta parte: No realizar "operaciones de estudiante novato":
i) 1/(a+b) =/= 1/a+1/b
ii) (a**2)**3 =/= a**5
iii) a**3*a**2 =/= a**6
iv) sqrt(a+b) =/= sqrt(a) +sqrt(b)
v) int (f(x)*g(x)) dx =/= (int f(x) dx) * (int g(x) dx)
x/x =/= 1   (la primera tiene una indefinición en x=0; la igualdad es válida si garantizamos que x=/=0)
Agregando otra falacia:
 vi)  (a+b)**2=a**2+b**2

El caso de las fracciones parciales es también digno de estudiar por sí mismo,
ya que de un denominador complicado se puede pasar a un denominador simple, permitiendo que se aplique alguna fórmula de integración bien conocida (por ejemplo, logaritmos):
Ejemplo sencillo:
1/(x**2-5x+6)=
1/[(x-2)(x-3)]=A/(x-2)+B/(x-3)
y
A/(x-2)+B/(x-3)=(A(x-3)+B(x-2))/[(x-2)*(x-3)]
por lo que
1/[(x-2)(x-3)]=(A(x-3)+B(x-2))/[(x-2)*(x-3)] implica que debemos tener
1=A(x-3)+B(x-2)=Ax+Bx-3A-2B= x(A+B)-3A-2B
Si los polinomios 1 y  x(A+B)-3A-2B deben ser iguales, tendrían que
ser iguales por cada ocasión en que ocurre o no la variable x; así,
1=-3A-2B (*)
A+B=0
De aquí, B=-A, y sustituyendo en (*)
 1=-3A+2A=-A, de donde A=-1, y por lo tanto B=1.
De lo anterior, debería ser cierto que
1/[(x-2)(x-3)]=-1/(x-2)+1/(x-3)
 -1/(x-2)+1/(x-3)=[(3-x)+(x-2)]/[(x-2)(x-3)]=1/[(x-2)(x-3)],
como era requerido.
Lo importante es que integrar esta nueva versión
-1/(x-2)+1/(x-3)

es algo sencillo.



Recordemos además que no está de sobra repasar la factorización de un polinomio, la división de polinomios y la suma y resta. Las prisas o los nervios

a veces nos hacen cometer errores simples en estas operaciones. Es bueno en apartar las operaciones que así se realicen para después complementarlas con los ejercicios que se trabajen.

Cuando el tiempo lo permita, traten siempre de derivar aquella función
que proponen como solución en la integración: se tiene que llegar a la
función original, por el teorema fundamental de cálculo.
Noten también que la definición es:
     b
int   f(x) dx = F(b) - F(a), donde F'(x)=f(x), y no F(a) - F(b)
     a
Alterando el orden se cambia el signo, y puede llevarlos a conclusiones
erróneas.

b) Integrales dobles

1. Descripción de regiones (arriba a abajo, o izquierda a derecha).
2. Integrales iteradas; consideraciones sobre las variables.
3. Integrales dobles sobre regiones.
4. Teorema de Fubini.
5. Evaluaciones de integrales sobre regiones con definiciones incluyendo constantes: ejemplo [0,a]x[0,b], con a>0,b>0. 

En el caso de regiones, debe distinguirse bien cómo se caracterizan:
para los casos básicos, es de arriba a abajo (primero dy) o de derecha a
izquierda. No es "conmutativo" este orden!!! (salvo casos simétricos indistinguibles). Por ejemplo, integrando f(x,y)=x*2 en [0,2]x[0,2]
es lo mismo para esta región si evaluamos
     2             2
int          int      f(x,y) dy dx     o si evaluamos
      0            0
     2             2
int          int      f(x,y) dx dy
      0            0

pero no para cuando la región es [0,1]x[0,2].

c) Repasar de Larson, parte de cálculo vectorial.

1. Gradientes.
2. Campos vectoriales.
3. Dominios y codominios.
4. Rotacional.
5. Divergencia.
6. Producto interno.
7. Producto externo.
8. Integrales de línea; integrales de longitud de arco.
9. Repasadita del Teorema de Stokes, de Green. 

En esta parte los errores comúnmente registrados son los de ausencia
de paréntesis, tanto para dar adecuada prioriada al efecto de los operadores
como para señalar con precisión que se trabaja con vectores de cierta dimensión. Además, otro error común en los exámenes previos fue no identificar
los pasos de evaluación finales. A veces es una pena que ya se obtuvieron
en esencia los resultados correctos pero las malas evaluaciones subsiguientes
echan todo a perder.

Un tema en el que muchos fallaron en el examen ordinario fue el de cómo
ensamblar la función potencial f de un campo vectorial conservativo F.

Sea por ejemplo F(x,y)=(x,y)
ya que la derivada parcial de x con respecto a y es 0, y de la derivada
parcial de y con respecto a x es también 0, el campo F es conservativo.
devParcial(f,x)=x implica que f1(x,y)=x**2/2+C1(y)
para una f1(x,y) (incompleta con respecto a f).
devParcial(f,y)=y implica que f2(x,y)=y**2/2+C2(x)

Ahora bien, debemos tener que f1=f2=f!, es solo que f es la que abarca
a f1 y a f2. Pero, por un lado, C1(y) puede ser y**2/2 (que está en la formulación de f2), y por otro C2(x) puede
ser igual a x**2/2, (que está en la formulación de f1)
así que f "completa" es f(x,y)=x**2/2+y**2/2+ C, donde
ahora sí C no tiene compromiso de tener dependencia con respecto a x o
a y: es una constante cualquiera.

C1(y) depende de y, pero al derivarla con respecto a x es 0, así que
C1(y) sí depende y; análogamente para C2(x).

Lo mejor para ver que uno dió la respuesta correcta es verificar que con la
f ensamblada se cumple que grad f = F!!!!

Notemos que para todo lo anterior el antecedente previo es la buena técnica de derivación, y el considerar como bien dominado el concepto de derivada parcial (sin cambiar notaciones bien establecidas).